타원의 둘레를 구하는 방법

타원의 둘레를 함수식으로 표현하여 적분하는 과정에서 많은 수학자들도 질문자분께서 언급해 주신 것처럼 단순하게 풀리지 않는다는 것을 알고 있었습니다. 이러한 타원의 방정식의 둘레를 구하기 위해서 많은 수학자들이 연구하던 끝에 새로 알아낸 적분꼴 함수가 바로 '타원 적분'입니다. 타원 적분 중 불완전 제2종 타원 적분의 경우, 다음과 같이 정의 됩니다. \[E(\phi, k)=\int_{0}^{\phi}{\sqrt{1-k^2sin^2 \theta}d \theta}~~(0~\leq~k~\leq~1)\] 이 때, \[\phi=\pi/2\]인 경우를 완전 제2종 타원 적분이라고 하며,  \[E(k)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1-k^2sin^2 \theta}d \theta}~~(0~\leq~k~\leq~1)\]의 형태로 정의됩니다. 이 때 만약 \[타원의 긴반지름이 a이고 이심률이 k일 때, 타원의 둘레는 4aE(k)로 구할 수 있습니다.\] 물론 이 적분 역시 일반적인 방법으로는 구하기가 매우 쉽지 않습니다.  따라서 타원의 둘레를 구하는 근사식도 존재합니다.  긴반지름이 a, 짧은반지름이 b인 타원의 둘레는 \[2 \pi \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\]로 표현할 수 있습니다.

+) 위의 식을 유도하려면, 타원을 매개변수꼴로 나타내면 됩니다. \[타원~~\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)은~~x=asin\theta,~~y=bcos\theta로~매개변수로~표현할~수~있습니다.\] \[따라서~타원의~길이를~구하기~위해서는~\theta의 범위를~0부터~\frac{\pi}{2}~\]까지로 적분하여 구한 값을 4배 하면 됩니다. \[4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2}d\theta=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\left(acos\theta\right)^2+\left(-bsin\theta\right)^2}~d\theta\] \[=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{a^2(1-sin^2\theta)+b^2sin^2\theta}~d\theta=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{a^2-\frac{a^2-b^2}{a^2}\times a^2sin^2\theta}~d\theta}\] \[=4a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k^2sin^2\theta}~d\theta\]\[또한 (b>a>0)인 경우에는 마찬가지로 4b\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k^2sin^2\theta}~d\theta로 계산하면~됩니다.\]\[위에서~언급한~E(k)의~경우~일반적인~초등함수의~적분으로는~구할~수~없고,~수치적인~계산만~가능하다고~합니다.\]\[b=1.1547,~a=1이면~k=0.5~이고,~E(0.5)=1.351이므로~타원~\frac{x^2}{1^2}+\frac{y^2}{1.1547^2}=1의~둘레는\] \[~4\times1.1547\times1.351=6.239이며~근사식으로~구하면~6.7866정도가~나오긴~합니다..\] https://freshrimpsushi.github.io/posts/circumference-of-ellipse/ 위 링크에 수치적으로 계산한 E(k)의 그래프가 있네요!