일변수 실함수의 연쇄법칙을 증명해보자. 보통 고등학교 교과서, 혹은 기초미적분학 교재에는 다음과 같은 (가짜) 증명을 슬쩍 소개하고 있다. \[\begin{align*} (f(g(x)))'&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{\Delta x} \\[6pt] &=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{g(x+\Delta x)-g(x)}\cdot\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} \\[6pt] &=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta g}\cdot\frac{\Delta g}{\Delta x} \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta g}\cdot\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta g}{\Delta x} = f'(g(x))g'(x) \end{align*}\] 그러나 여기서 \(\Delta x\to 0\)일 때, \(\Delta g\)가 \(0\)일 수 있기 때문에 이 증명이 유효하지 않다.
이 증명을 좀 다듬어 보자. 문자 \(u\)를 \(u=g(x+h)-g(x)\)로 두고 \(k=g(x)\)라 하자. 그러면 \[\lim_{h\to 0}u=0\]이고, \[\lim_{h\to 0}\frac{u}{h}=g'(x)\]이며, 원점 근방에서 \[ \varphi(u)=\begin{cases} \dfrac{f(u+k)-f(k)}{u}-f'(k), & \mbox{if \(u\neq 0\)} \\[6pt] 0, & \mbox{if \(u=0\)} \end{cases} \] 으로 정의된 함수 \(\varphi\)는 \[\lim_{u\to 0}\varphi(u)=0\]을 만족시킨다. 이로부터 \begin{align*} (f(g(x)))'&=\lim_{h\to 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h} \\[6pt] &=\lim_{h\to 0}\frac{f(u+k)-f(k)}{h} \\[6pt] &=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\left(f(u+k)-f(k)\right) \\[6pt] &=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\left( f'(k)\cdot u+u\varphi(u)\right) \\[8pt] &=f'(g(x))g'(x) \end{align*} 를 얻는다.
