이 글은 벡터공간의 차원이, 그 벡터공간의 기저의 기수(cardinal number)로서 잘 정의됨을 살펴보는 글이다. 유한집합으로 생성되는 벡터공간의 차원이 잘 정의된다는 것은 보통의 선형대수학 교재에 아주 잘 소개되어 있으므로 여기서는 생략하고, 이 글에서는 유한집합으로 생성되지 않는 벡터공간, 즉 무한차원벡터공간의 차원이 잘 정의되는 것을 살펴본다. 이 글은 참고문헌 [1]의 제9장 2절의 내용을 바탕으로 작성하였다.
Invariance of Dimensionality
체 \(\mathbb{F}\) 위의 벡터공간 \(V\)가 주어졌을 때, (선택공리를 가정했을 때) \(V\)의 기저가 존재함을 알고 있다. 여기서는 \(\mathcal{B}\)와 \(\mathcal{C}\)가 모두 \(V\)의 기저일 때, \(\mathcal{B}\)와 \(\mathcal{C}\) 사이에는 일대일 대응이 반드시 존재함을 확인함으로써 [\(V\)의 차원]을 \(V\)의 기저의 기수로 정의할 수 있다는 것을 보이고자 한다.
이를 위해 \(\mathcal{B}=\{v_i\mid i\in I\}, \mathcal{C}=\{w_j\mid j\in J\}\)로 두고, (\(I\) 혹은 \(J\)가 유한집합인 경우는 \(V\)가 유한집합으로 생성되는 경우이므로) \(I\)와 \(J\)가 모두 무한집합임을 가정하고, \(\mathcal{B}\)와 \(\mathcal{C}\) 사이에 일대일 대응이 존재함을 보이자.
\(\mathcal{C}\)가 \(V\)의 기저이므로, \(\mathcal{B}\)의 각각의 원소 \(v_i\)를 \(\mathcal{C}\)의 일차결합인 \[ v_i=\alpha_1 w_{k_1}+\cdots + \alpha_m w_{k_m}\quad (\alpha_k\neq 0) \] 꼴로 나타낼 수 있다. 이러한 일차결합 전체를 생각해볼 때, \(\mathcal{C}\)의 임의의 원소는 이 일차결합들 중에 적어도 한 번은 나타나야만한다. 왜냐하면, 만일 이러한 일차결합 중에 한 번도 나타나지 않는 \(w_{j_0}\)가 있다면, \(\mathcal{B}\)도 기저이므로 \(w_{j_0}\)를 \(v_i\)들의 일차결합으로 나타낼 수 있고, 이때의 모든 \(v_i\)는 다시 (\(w_{j_0}\)는 아닌) \(w_j\)들의 일차결합으로 다시 쓸 수 있게되는데 이는 곧 \(w_{j_0}\)를 다른 \(w_j\)들의 일차결합으로 나타낼 수 있다는 뜻이되어 \(\mathcal{C}\)가 일차독립인 것에 모순이 되기 때문이다.
이제 \(\mathcal{C}\)에서 \(\mathcal{B}\)로의 함수 \(\varphi\)를 정의해보자. 각 \(w_j\in\mathcal{C}\)는 \(\mathcal{B}\)의 어떤 원소를 표현하는 일차결합에 적어도 한 번은 나타나는데, 그 일차결합이 나타내는 \(v_i\)를 하나 택하여 이를 \(\varphi(w_j)\)의 값으로 정하자. 즉, 각 \(j\in J\)에 대하여 집합 \(S_j\)를 \(\mathcal{B}\)의 원소 중에 \(w_j\)를 포함한 일차결합으로 표현되는 원소를 모두 모아 놓은 집합으로 정의하면, (앞서 살펴본 바와 같이) \(S_j\)는 공집합이 아니다. 따라서 (선택공리를 가정하면) 모든 \(j\in J\)마다 \(S_j\)의 한 원소를 택할 수 있고, 그 택한 원소를 \(\varphi(w_j)\)로 두면, \(\varphi: \mathcal{C}\to\mathcal{B}\)는 잘 정의된 함수이다.
이제 \(\varphi\)의 치역을 \(\mathcal{B}'\)으로 두자. 즉 \(\varphi(\mathcal{C})=\mathcal{B}'\)라 하자. 만일 \(v_{i_0}\in \mathcal{B}'\)라면, \(v_{i_0}\)의 \(\varphi\)에 대한 역상, 즉 \(\varphi^{-1}(\{v_{i_0}\})\)의 원소들은 \(v_{i_0}\)를 \(\mathcal{C}\)의 일차결합으로 나타낼 때 등장한 \(w_j\)들로 이루어져 있으므로 \(\varphi^{-1}(\{v_{i_0}\})\)는 반드시 유한집합이다.
이제 집합족 \(\mathcal{F}=\{\varphi^{-1}(\{v_{i_0}\})\mid v_{i_0}\in\mathcal{B}' \}\)를 생각하자. \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{B}'\) 사이에 일대일 대응이 있으므로 이들의 기수는 같다. 한편, 집합족 \(\mathcal{F}\)는, 그 정의상, \(\mathcal{C}\)를 부분집합들의 모임인데, 특히 이들은 쌍마다 서로소인 \(\mathcal{C}\)의 유한부분집합들의 모임이며, 전체를 합집합 하면 \(\mathcal{C}\)가 된다. 즉 \(\mathcal{F}\)는 \(\mathcal{C}\)를 서로 겹치지 않는 유한집합들로 분할한 것으로 볼 수 있다. 더욱이 \(\mathcal{C}\)가 무한집합이므로 \(\mathcal{F}\)도 무한집합이다. 또한 표준적인 집합론의 기수에 관한 몇 가지 정리로부터 \(\mathcal{C}\)와 \(\mathcal{F}\)는 동일한 기수를 가짐을 얻을 수 있다.1
따라서 \(\mathcal{B}'\)의 기수는 \(\mathcal{C}\)의 기수와 같으며 이는 \(\mathcal{B}'\)을 부분집합으로 갖는 집합인 \(\mathcal{B}\)의 기수는 \(\mathcal{C}\)의 기수보다 크거나 같다는 것을 의미한다. 이제 \(\mathcal{B}\)와 \(\mathcal{C}\)의 역할을 바꾸어 동일한 논리를 전개하면 \(\mathcal{C}\)의 기수가 \(\mathcal{B}\)의 기수보다 크거나 같음을 얻을 수 있다. 따라서 (Cantor-Bernstein의 정리에 의해) \(\mathcal{B}\)와 \(\mathcal{C}\)의 기수가 같음을 얻는다.
참고문헌
- Nathan Jacobson. (1953). Lectures in Abstract Algebra. II. Linear Algebra. Springer Science & Business Media.
- 여기서 말하는 집합론의 몇 가지 정리를 요약하자면, 무한집합 \(A\)와 [쌍마다 서로소인 공집합이 아닌 유한집합들]로 이루어진 집합족 \(\{B_i\mid i\in I\}\)에 대하여, \(\vert A\vert =\vert I\vert\)라면 \(\vert A\vert = \left\vert \bigcup_{i\in I}B_i\right\vert\)가 성립한다는 것이다.
