극곡선 길이 구하는 방법

\(r=f(\theta)\)라는 극방정식의 \(\alpha \leq \theta \leq \beta\)에서의 곡선의 길이는

\[L=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{{r^2}+\left({\frac{dr}{d\theta}}\right)^2}d\theta\]

라고 배웠습니다. 하지만 호의 길이 \(l=r\theta\)를 그대로 적분한 식과는 공식이 다른데, 그 이유에 대해서 고민을 해 보았습니다. r의 벡터 방향이 각도가 증가하는 방향과 항상 수직이지 않기 때문에 호의 길이를 구하는 공식을 사용하면 안 되는 것 같습니다. 직교좌표계에서 곡선의 길이를 계산할 때에는  x축과 y축, 두 축에 대해서 나누어 미소길이를 구합니다. 이 논리를 극좌표계에도 적용하면 반지름과 각도를 나누어 구해주어야 할 것입니다. 따라서 처음에 적은 공식과 같이 곡선의 길이를 구하는 것이죠. 그런데 여기서 의문이 하나 생겼습니다. 극곡선의 면적을 구할 때에는 부채꼴의 넓이를 확장해서 구하는데 왜 곡선의 길이는 같은 방식으로 하면 구할 수 없는 걸까요?