kwak asked 2 years ago
안녕하세요 저는 수3를 수강 중인 학생입니다. 적분을 공부하던 중에 구의 부피를 적분을 사용하여 구하고자 하는 호기심이 생겨서 질문하게 되었습니다. 먼저 원의 넓이를 구하는 공식은 \(\pi r^2\)으로 잘 알려져 있습니다. 구의 부피를 구하기에 앞서서 이 공식을 적분을 사용해서 증명해보기로 하였고, \[x^{2}+y^{2}=r^{2}\]에서 y로 정리한 식을 사용하여 넓이를 구할 수 있었습니다. 조금 더 자세히 말하자면,\[y=\sqrt{r^{2}-x^{2}}\]로 정리하여 \[\int_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}dx\]의 값을 구합니다. 이때 구한 값은 원의 절반의 넓이를 나타내므로 이 값이 2를 곱해준 것이 원의 넓이가 됩니다. 이를 증명한 이후에 구의 부피를 구해보려고 시도해 보았지만 어떻게 구해야 할지 감이 안 잡힙니다. 적분으로 구의 부피를 어떻게 구해할 수 있을까요?
셀레스티아 answered 2 years ago
3차원 좌표계에서 반지름이 \(R\)인 구의 중심을 원점으로 놓으면,
\(x=r\)에서 구의 \(yz\)평면 위의 단면적은 \(\pi(R^2-r^2)\)가 됩니다.
따라서 작성자님의 방법을 사용하면, 구의 부피는
\[\int_{-r}^{r} \pi(r^2-x^2)dx=\pi(2r\cdot r^2 -[\frac{x^3}{3}]_{-r}^{r})=\frac{4}{3}\pi r^3\]
가 됩니다!
좋은 하루 되세요
moonkh answered 2 years ago
안녕하세요? 아이디어는 조금 다르지만, 각도로 접근하는것도 매우 편리할 것 같아 제가 유도한 방식을 소개해드리려고 합니다. 먼저 구의 부피를 구하기 전에 원의 넓이를 구해봅시다. \[y=\int_{-r}^{r}\sqrt{(r^{2}-x^{2})}dx\]는 y를 기준으로 적분한 것입니다. 이것을 기하학적으로 생각해보면, 밑변의 길이가 \(\sqrt{(r^{2}-x^{2})}\), 높이가 dx인 작은 직사각형을 붙인것이라고 할 수 있습니다.그러면 이것을 각도로 접근해 봅시다. 원을 중심각의 크기가 dx인 작은 부채꼴로 나누어 봅시다. 그럼 이 부채꼴의 넓이는 \(\frac{1}{2}r^{2}dx\)가 되고, 원의 전체 넓이는 x를 0에서 \(2\pi\)까지 적분한 것이므로,\[\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{2}r^{2}dx={\pi}r^{2}\]가 됩니다. 이 아이디어를 구에서도 적용해 봅시다. 구를 위의 방법과 같이 쪼개게 된다면, 구는 작은 밑면이 직사각형인 사각뿔들의 집합으로 생각할 수 있습니다. 첨부된 그림을 봅시다. 이 사각뿔의 높이는 구이므로 당연히 r입니다. 그리고 이 사각뿔의 밑면에서 높이(\(PS\)의 길이)는 당연하게도 \(rdϕ\)입니다. 또한 \(PH_{1}\)의 길이는 \(rsinϕ\)이므로, \(△{OPH_{1}}\)에서 피타고라스 정리를 사용하면, \(OH_{1}=PH_{2}=\sqrt{r^{2}-{(rsinϕ)}^{2}}=rcosϕ\)입니다. 따라서 \(PQ=rcosϕdθ\)입니다.따라서 이 사각뿔의 부피는\[(\frac{1}{3} {r})(rdϕ)(rcosϕdθ)=\frac{r^{3}}{3}cosϕdϕdθ\]이제 구의 부피를 구해봅시다. ϕ는\(-\frac{\pi}{2}\)에서 \(\frac{\pi}{2}\)까지이고, θ는 0에서 \(2\pi\)까지 적분되므로,\[\int_{0}^{2\pi}{\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{r^{3}}{3}cosϕdϕdθ}}\]\[=\frac{r^{3}}{3}\int_{0}^{2\pi}{\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{cosϕdϕdθ}}\]\[=\frac{r^{3}}{3}\int_{0}^{2\pi}{2dθ}\]\[=\frac{4}{3}{\pi}r^{3}\]입니다.
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