Lily Lee asked 2 years ago
안녕하세요 수3를 공부하고 있는 고등학생입니다.
원의 넓이는 $\pi r^{2}$ 로 공식이 정해져 있는데, 타원의 넓이는 어떻게 구하는 것인지 궁금해져서 구분구적법으로 구해보려하였습니다.
$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ $a>0, b>0$ 에 대하여 타원의 넓이 S는
$S=\lim_{n \rightarrow \infty}{2\times\sum_{k=1}^n{(\frac{a}{n}\times b\sqrt{1-\frac{k^{2}}{n^{2}}})}}$
이렇게 쓰고 나니 구분구적법으로는 타원의 넓이를 구하기 어렵다는 것을 깨닫게 되었고, 적분으로 시도하여 $S=2\times\int_{-a}^{a}{b\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}}}dx=\frac{2b}{a}\int_{-a}^{a}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx$ $x=asin\theta$ 로 치환하면
$S=\frac{2b}{a}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{a^{2}cos^{2}\theta}d\theta=2ab\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1+cos2\theta}{2}}d\theta=ab\times(\frac{\pi}{2}+0-(-\frac{\pi}{2})-0)=ab\pi$
따라서 타원의 넓이는 $ab\pi$ 가 나왔습니다.
타원의 넓이를 올바르게 구한 것이 맞나요? 더 쉬운 방법이 있다면 알려주세요!
감사합니다!!
7기박서현 answered 2 years ago
타원의 넓이는 원의 넓이를 바탕으로 구할 수 있습니다. 구분구적법이나 적분을 사용하지 않고서도 카발리에리 원리를 사용해서 쉽게 구할 수 있습니다. 우선 카발리에리 원리에 대해 간단히 설명드리겠습니다. \[\]우선 어떤 평행한 두 직선\( j, k\)를 생각해봅시다. 서로 다른 두 평면 도형을 각각 두 직선 \(j, k\)와 모두 접하도록 둡니다. 임의의 높이에서 직선 \(j, k\)와 평행한 직선이 두 도형과 만나서 만드는 선분의 길이의 비가 \(m:n\)으로 일정할 때 두 도 형의 넓이 비는 \(m:n\)입니다. 도형들을 직선 \(j, k\)와 평행한 직선들로 매우 얇게 자르면 선분들의 길이의 비가 \(m:n\)이므로 같은 높이에 대응하는 직사각형의 넓이의 비가 \(m:n\)으로 일정하다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 이 얇은 직사각형들을 모두 더한 원래의 도형의 넓이의 비도 \(m:n\)가 됩니다.\[\] 타원\( \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1 \)은 원 \( x^2+y^2=1\) 을 \(x\)축 방향으로 \(a\) 배 확대, \(y\)축 방향으로 \(b\)배 확대한 도형입니다. \(x\)축 방향으로 봤을 때 카발리에리 원리에 의해 타원 \( \frac{x^2}{a^2}+y^2 = 1\) 은 원 \( x^2+y^2=1\) 넓이의 \(a\)배이고 \(y\)축 방향으로 봤을 때 카발리에리 원리에 의해 타원 \( \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1 \)의 넓이는 타원 \(x^2+\frac{y^2}{b^2}=1\)의 넓이의 \(b\)배입니다. 따라서 타원 \( \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1 \)은 원 \( x^2+y^2=1\)의 넓이의 \(ab\)배입니다. 원 \( x^2+y^2=1\)의 넓이는\(\pi\) 입니다. 따라서 타원의 넓이는 \(\pi\) \(ab\)입니다.
Lily Lee
replied 2 years ago 정말 신기한 방법이네요!! 감사합니다 🙂
seoyun0318 answered 2 years ago
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