7기이주원 asked 1 year ago
안녕하세요 저는 미적분학 1을 수강하고 있는 고2입니다. 수업시간에 이심률에 대하여 공부하였습니다. e<1일때는 타원, e=1이면 포물선, e>1이면 쌍곡선을 그린다는 것을 배웠는데, 그렇다면 이심률을 무한대로 보냈을 때 곡선의 형태가 어떻게 되는지, 또한 초점과 준선은 어떻게 될지 궁금합니다!
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MM19 answered 1 year ago
초점이 원점인 원뿔곡선을 극형식으로 표현하면 다음과 같습니다.
\[ r=\frac{ed}{1+e\cos{\theta}} \]
이때 \(d\)는 준선의 위치 \(x=d\)를 나타냅니다. \( e>>1 \)인 상황을 생각해봅시다. 즉 이심률이 1 정도를 더하는 것은 무시할 수 있을 정도로 커지는 상황 말입니다. 그렇다면,
\[ r = \frac{ed}{1+e\cos{\theta}} \simeq \frac{ed}{e\cos{\theta}} = \frac{d}{\cos{\theta}} \]
이 되겠지요. 즉 \( r\cos{\theta} = x = d \)인 상황이 되어, 준선으로 다가가게 됩니다. 사실 당연한 것이, 이심률의 정의에서
\[e=\frac{\overline{\rm PF}}{\overline{\rm{P}\it{l}}} \]
이므로, 이심률이 무한히 커지면 준선과 거리가 무한히 좁혀진다고 추측할 수 있습니다. 초점은 원점으로 정해져 있으니, 초점과의 거리가 무한대로 간다기보단 준선과 거리가 무한히 좁혀진다고 추측하는 것이 조금 더 타당하겠지요. 그래서 원뿔곡선이 준선으로 다가갈 것 같습니다!
\[\]
이곳에서 이심률이 커질 때 원뿔곡선을 확인할 수 있습니다! 경향성을 확인하는 정도로는 참고하기 좋을 것 같아요!
\[ \text{https://www.geogebra.org/m/aqan3bym} \]
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