8기전민성 Staff asked 7 months ago
매번 자연스럽?게 하던 적분이었는데 뭔가 이상해서 남겨봅니다!
우리가 다음의 부정적분을 진행할 때, \[\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\] 에서 x 를 sinθ 로 치환해서 적분을 진행했습니다. 이때, 치환하면 1을 적분하는 형태가 되었습니다. 하지만, \[\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\] 를 진행할때, 자연스럽게 치환적분을 통해 답을 π/2로 표현하려 했으나, 이상적분의 형태에서 치환을 통해 이상적분이 아닌 적분으로 변화한다면 그 전의 적분 상황을 무시해도 되는건가요..?
생각을 해 봤을때는 같은 식을 치환을 통해 변화시키는 거라 문제가 없을 것 같지만, cosθ로 분모가 치환되고, cosθdθ와 상쇄될 때 문제가 생길 것 같다는 생각을 해봤습니다....
우리가 다음의 부정적분을 진행할 때, \[\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\] 에서 x 를 sinθ 로 치환해서 적분을 진행했습니다. 이때, 치환하면 1을 적분하는 형태가 되었습니다. 하지만, \[\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\] 를 진행할때, 자연스럽게 치환적분을 통해 답을 π/2로 표현하려 했으나, 이상적분의 형태에서 치환을 통해 이상적분이 아닌 적분으로 변화한다면 그 전의 적분 상황을 무시해도 되는건가요..?
생각을 해 봤을때는 같은 식을 치환을 통해 변화시키는 거라 문제가 없을 것 같지만, cosθ로 분모가 치환되고, cosθdθ와 상쇄될 때 문제가 생길 것 같다는 생각을 해봤습니다....
1 Answers
8기김준성 answered 7 months ago
적분 상황을 무시해서는 안된다고 알고 있습니다. 최종적으로 정리된 식은 이상적분이 아닐지 모르지만, 정리되기 전의 식 자체를 보았을 때, 치환을 이용하여 이상적분을 진행하면 치환된 식도 이상적분이 되기 때문입니다. 1/(1/x)를 정리하면 x가 되기는 하지만, y=1/(1/x) 라는 함수는 정의역이 x=0을 제외한 실수이고, y=x는 실수 전체를 정의역으로 갖기 때문에 두 함수가 다른 함수라는 것과 비슷한 맥락입니다. 글에서 언급해주셨듯, 치환적분을 이용하면 1/sqrt{1-x^2}는 분모에 cos(theta)를 갖는 함수가 되므로 여전히 pi/2를 특이점으로 갖습니다.
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