이변수 함수의 사잇값 정리의 일반화에 관한 질문

다소 넋두리에 가까운 질문 글입니다.
앞서 어떤 질문자께서 이변수 함수의 사잇값 정리에 관련된 질문을 올리셨는데요, 그 질문과는 다소 다른 방식으로 이변수 함수의 사잇값 정리를 다음과 같이 생각해보았습니다.

집합 \(D=\{ (x, y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2\leq 0\}\)에서 정의된 연속인 이변수 벡터값 함수 \(f: D \to \mathbb{R}^2\)가, \(D\)의 경계(\( x^2+y^2=1\)을 만족시키는 \((x, y)\)들의 모임)에서 항등함수라면, \(f(x_0, y_0)=(0,0)\)을 만족시키는 \((x_0, y_0)\in D\)가 존재한다.

조금 조사를 해보니, 꽤 추상적인 수학을 이용하여 증명하는 방법은 있는 것 같습니다. 그러나 미적분학 수준에는 위의 명제를 증명할 방법은 도저히 모르겠습니다. 아마, 쉽지 않겠죠?

(참고) 사잇값 정리를 위와 같이 일반화해 본 이유는 일변수 실함수의 사잇값 정리를 다음과 같이 기술할 수도 있기 때문입니다.

구간 \([-1, 1]\)에서 정의된 연속인 실함수 \(f: [-1, 1]\to\mathbb{R}\)가 \(f(-1)=-1, f(1)=1\)을 만족시키면, \(f(p)=0\)가 되는 \(p\in [-1, 1]\)가 존재한다.