starlight asked 2 years ago
미적분학 I 시간에 유리식을 적분할 때, 부분분수 분해를 이용하면 대부분의 부정적분을 해결할 수 있다는 사실을 알게 되었습니다.
예를 들어,
\[\int{\frac{1}{(x+1)(x+2)}}dx=\int{\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right)}dx=\ln\left|\frac{x+1}{x+2}\right| +C\] 와 같이, 대부분의 우리가 마주하는 유리식 적분은 부분분수 분해를 통해서 해결할 수 있습니다.
그렇다면 임의의 (다항식)/(0이 아닌 다항식) 꼴로 주어지는 유리식은 항상 부분분수 분해를 할 수 있는 것일까요?
또한, 부분분수로 분해한 결과는 과연 유일한 것인지도 궁금합니다.
말해야합니까 answered 2 years ago
재미있는 질문인 것 같아요. 답변이라고까지 할 순 없지만, 확인 해볼 만한 지점에 대해 글을 남겨봅니다. 의식의 흐름대로 적은 글이고 디테일한 부분은 확인하지 않은 글이니 이상한 지점이 있으면 알려주면 고맙겠습니다. (이 글에서는 편의상 '$x$에 대한 다항식' 혹은 '$x$에 대한 유리식' 등을 그냥 '다항식', '유리식' 등으로 부르겠습니다.)
우선 대수학의 기본정리, 그리고 실계수 다항식의 근은 그 근의 켤레복소수도 반드시 그 다항식의 근이 된다는 사실로부터 모든 실계수 다항식은 실수 범위에서 2차 이하의 다항식들로 (적어도 이론적으로는) 인수분해됨을 얻습니다. 따라서 (다항식)/(다항식)로 주어진 유리식의 분모를 2차 이하의 "기약다항식"들의 곱으로 나타낼 수 있습니다. (여기서 기약다항식이란 실수범위에서 더이상 인수분해 되지 않는 다항식을 지칭하는 뜻으로 사용한 용어입니다.)
그렇다면 우선 주어진 $\dfrac{(\text{다항식})}{(\text{다항식})}$꼴의 임의의 유리식을 유리식을 $\dfrac{(\text{상수})}{(\text{다항식})}$, $\dfrac{(\text{상수})}{(\text{(기약인)이차식})}$, $\dfrac{(\text{일차식})}{(\text{(기약인)이차식})}$ 들의 합으로 표현할 수 있음을 보일 수 있지 않을까요?
한편, $\dfrac{(\text{상수})}{(\text{다항식})}$, $\dfrac{(\text{상수})}{(\text{(기약인)이차식})}$, $\dfrac{(\text{일차식})}{(\text{(기약인)이차식})}$들을 모두 모아 놓고, 이들의 일차결합 꼴로 나타낸 식들도 모두 모아 놓은 집합을 \( Q[x] \)로 나타내 봅시다. 그러면 \( Q[x] \)는 합에 대하여 닫혀 있으며, 상수곱에 대하여도 닫혀 있는, 소위, 벡터공간이라고 부를 수 있는 집합이 됩니다.
임의의 벡터공간은 (선택공리를 가정했을 때) 기저를 갖습니다. 기저를 하나 잡으면 그 기저의 원소의 일차결합으로 한 벡터를 나타내는 방법은 유일하다 할 수 있습니다. 그렇다면 $Q[x]$의 기저를 하나 찾을 수 있다면 질문자님이 질문한 두 번째 질문인 부분분수 분해가 유일한가라는 질문에 대한 답도 할 수 있겠습니다.
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