코시 응집 판정법에 관해서 질문합니다.

안녕하세요 고등학교 1학년 학생으로, 수학3와 수학4를 수강하고 있습니다.  코시 응집 판정법은 \(\{a_n\}\)이 감소수열이고, 0으로 수렴할 때, \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)이 수렴하는 것이 \(\sum_{n=1}^{\infty} 2^n a_{2^n}\)이 수렴하는 것과 필요충분조건이라는 것입니다.  Invitation to Calculus 2장 2절 69페이지에서 이 판정법에 대한 증명을 공부하고 있었는데, \(\sum_{k=1}^{n} 2^k a_{2^k}\)과 \(\sum_{k=1}^{n} a_{k}\)을 적절히 부등호를 이용해서 어느 한쪽이 수렴하면 다른 쪽도 수렴한다는 것을 밝힐 수 있다는 것을 알 수 있었습니다. 하지만 이 증명에서 \(\{a_n\}\)이 0으로 수렴한다는 조건이 사용되지 않은 것 같은데, 이 조건이 코시응집판정법에 꼭 필요할 지 잘 모르겠습니다.  도움 주시면 감사하겠습니다.